Yu的食生活日

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轉自：數學算法俱樂部 如涉版權請加編輯微信iwish89聯繫 哲學園鳴謝 德國近現代歷史上曾經誕生了許多偉大數學家，特意挑選出其中個人覺得最優秀的十位數學家，本文僅代表個人觀點，不喜勿噴。 ... NO10 康托爾 等級: 天才 類型:創造性突破 代表性成果: 1.集合論 2.超窮數理論 簡評: 最具有革命性的數學家康托爾，兩千多年來，科學家們接觸到無窮，卻又無力去把握和認識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰。康托爾以其思維之獨特，想像力之豐富，方法之新穎繪製了一幅人類智慧的精品——集合論和超窮數理論，令19、20世紀之交的整個數學界、甚至哲學界感到震驚。可以毫不誇張地講，「關於數學無窮的革命幾乎是由他一個人獨立完成的。」而他創立的集合論，已經成為了現代數學基礎理論大廈。 ... NO9 外爾 等級: 天才 類型: 大師 代表性成果: 1.群論 2.積分方程 3.黎曼曲面 簡評: 希爾伯特的繼承人，對表示論，李群李代數，微分拓撲，復幾何等分支都有奠基性貢獻。由於數學各學科研究越來越廣泛而深入，龐加萊，希爾伯特去世後，因而現代已經沒有在數學所有領域都通的數學家了，外爾被稱為上世紀上半葉出現的最後一位「全能數學家」。 ... NO8. 狄利克雷 等級: 天才 類型:開創性突破 代表性成果: 1.解析數論(創始人) 2.數學分析 3.數學物理 簡評: 狄利克雷在數學和力學兩個領域都做出了名垂史冊的重大貢獻，尤以分析、數論、位勢論為最。 「狄利克雷是一位極有洞察力的數學家，給出了現代函數概念的精確解釋"。並提出新的單值函數概念，還提出所謂「狄利克雷函數」、所謂「狄利克雷積分」等。他還在位勢論、熱學、磁學、數學物理等方面也有一些創造。 並提出新的單值函數概念，還提出所謂「狄利克雷函數」、所謂「狄利克雷積分」等。他還在位勢論、熱學、磁學、數學物理等方面也有一些創造。 ... NO7. 雅可比 等級: 超天才 類型: 大師 代表性成果: 1.代數學 2.橢圓函數論 3.複變函數論 簡評: 雅可比對數學具有非常深刻的洞察力，用天才已經無法形容他的數學天賦，他可怕的心算能力歷史上估計僅次於歐拉。他的工作包括代數學、變分法、數學分析，複變函數論和微分方程，以及數學史的研究。將不同的數學分支連通起來是他的研究特色。他不僅把橢圓函數論引進數論研究中，得到了同餘論和型的理論的一些結果，還引進到積分理論中。而積分理論的研究又同微分方程的研究相關聯。此外，尾乘式原理也是他提出的。 現代數學許多定理、公式和函數恆等式、方程、積分、曲線、矩陣、根式、行列式以及許多數學符號都冠以雅可比的名字，可見雅可比的成就對後人影響之深。 ... NO6. 魏爾斯特拉斯 等級: 超天才 類型: 史詩性突破 代表性成果: 1.數學分析(現代分析學之父) 2.微積分嚴格化 3.複變函數論 4.提出ε-N語言和ε-δ語言 簡評: 老魏是一位具有深刻洞察力和觀察力的超級數學天才，以ε-δ語言，系統建立了實分析和複分析的基礎，基本上完成了分析的算術化和嚴格化，被譽為"現代分析之父"。 並且為微積分嚴格化，做出了史詩性貢獻，通過澄清極小、極大、函數、導數等概念，他排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關於無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源於無窮大、無窮小朦朧思想的困難。 今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度本質上應歸功於魏爾斯特拉斯的科學活動」。 ... NO5. 諾特 等級: 超天才 類型:革命性突破 代表成果: 1.抽象代數 (抽象代數之母) 2.諾特定理 3.數學物理 簡評: 她的研究領域為抽象代數和理論物理學。她善於藉透徹的洞察建立優雅的抽象概念，再將之漂亮地形式化，她徹底改變了環、域和代數的理論。 她從不同領域的相似現象出發，把不同的對象加以抽象化、公理化，然後用統一的方法加以處理，完成了《環中的理想論》這篇重要論文。這是一項非常了不起的數學創造，它標誌著抽象代數學真正成為一門數學分支，或者說標誌著這門數學分支現代化的開端。諾特也因此獲得了極大的聲譽，被譽為是「現代數學代數化的偉大先行者」，「抽象代數之母」。 ... NO4 .萊布尼茨 等級: 準神 類型: 百科全書式數學家 代表性成果: 1.微積分(創始人) 2.數理邏輯 3.數學符號 4.拓撲學 簡評: 德國哲學家、數學家，歷史上少見的通才，被譽為十七世紀的亞里士多德。 萊布尼茨幾乎精通他所處時代所有數學分支，拓撲學這個當代最難的數學分支之一，最早就是他提出的。他發明的微積分比牛頓的簡單先進，他的微積分和數學符號在世界幾乎占有統治地位。。。。。。 ... NO3 .希爾伯特 等級: 準神 類型: 數學界無冕之王 代表性成果: 1.不變量理論 2.代數數域理論 3.幾何學 簡評: 作為20世紀的數學教父，他的偉大成就幾乎遍及當時所有數學分支，對基礎數學都做出了開創性貢獻。 他於1900年8月8日在巴黎第二屆國際數學家大會上，提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的至高點，對這些問題的研究有力推動了20世紀數學的發展，在世界上產生了深遠的影響。希爾伯特領導的數學學派是19世紀末20世紀初數學界的一面旗幟，希爾伯特被稱為「數學界的無冕之王」，他是天才中的天才。 關於與龐加萊的學術競爭？ 與龐加萊並稱的現代雙子星，就算不如高斯，歐拉這些教主，希爾比特數學成就也幾乎是護法級別的。 論社會公眾影響力，教父要超過龐加萊，23個數學問題奠定教父全球數學領袖的地位，他的徒子徒孫遍布數學各個領域；但持平而論，在純數學學術成就上，要比龐加萊遜色半籌，最重要的是，希爾伯特追求的公理化體系這個他認為最重要的成就被擊碎，輸給了龐加萊的光輝直覺體系，因此在學術上，最終希爾伯特是不如龐加萊來的重要，在20世紀數學家影響力要排在龐加萊之後。 PS: 下面出場的兩個重量級人物，不僅僅局限於德國，反而有絕對實力可以爭世界NO1數學家榮耀的貴冠，所以我想從世界角度去寫，而且值得我要大寫特寫。 ... NO2. 高斯 級別：神 類型：統治時代 代表性成果： 1.算術探索（初等數論集大成者，代數數論萌芽，18世紀最偉大的數學著作，不解釋） 2.曲面內蘊微分幾何（黎曼幾何的重要源頭，微分幾何奠基之作，非歐幾何代表工作之一，啟發現代幾何學） 3.機率論正態分布 4.高斯絕妙定理 5.高斯電磁定律 簡評： 做為古典數學集大成者，現代數學的重要啟發者和奠基人，王子的成就覆蓋了數學各個分支，公認的數論史上第一人，幾何學史上top5，初等數論集大成者，代數數論萌芽始祖，現代微分幾何鼻祖，對機率論作出重大貢獻，並且在非歐幾何，代數數論，橢圓函數論，橢圓積分作出早期系列工作，並且在電磁學，大地測量學，天文學等取得不凡成績。 王子的學術成就遍布數學各個領域和分支，並且極具深度與完成度，毫無疑問，在一切時代，高斯都是史上最偉大的數學家之一！尤其在學術廣度，全面度以及公眾影響力，以及數學史地位，高斯基本上都是公認的數學之王，歷史第一人。 但是，我們如果從個人學術成就的意義，開創性，重要性以及對數學本身以及後世的影響力，輻射力來說，高斯絕不是史上第一人，甚至前三都排不到了。 論學術成就與深度，開創性，高斯和黎曼差距太遠，無法相提並論，高斯差了黎曼至少兩到三個檔次，基本不是一個檔次的數學家了。 和龐加萊相比，兩者都兼具全面性與廣度，而且在深度和完成度上都差不多，但龐加萊拓撲學難度超越高斯太多，而且拓撲學對現代物理的滲透力遠超高斯的物理滲透力，而且龐加萊獨力構建的拓撲學這個數學中心結構，王子沒有任何一項成就能與之相比，所以王子不如龐加萊，差了半個到一個檔次吧。 就數學成就來說，實際上高斯與歐拉，希爾伯特，格羅滕迪克差不多，而且就單個數學成就而言，高斯甚至不如伽羅華，阿貝爾！但高斯占了時代的因素，在他的那個時代作出如此具有廣泛與全面性的成就，在學術成就差不多的前提下，王子比希爾伯特，諾特，格羅滕迪克早了近百年，確實可敬可佩，所以將王子排在德國第二，世界第二。 但可以肯定，在未來的進程中，高斯的學術排名與影響，必定會進一步降低，隨著代數幾何與群論，表示論，幾何化朗蘭茲的進一步發展，會感受到格羅滕迪克，龐加萊，希爾伯特三人的偉大，他們的學術成就排名在未來有極大可能超越高斯！而且不排除(是肯定)在未來會出現更強的數學家，所以高斯這個世界第二的位置是不穩的。 但高斯在嚴密性和抽象性上要超過歐拉，而在深度和完成度上以及全面度上要勝過阿貝爾和伽羅華，所以目前暫時排在世界第二位還是合適的。 在來談談高斯的偉大之處： 1.數學史上天智全才，廣度與厚度無人能及！王子是與歐拉並肩，甚至在抽象性與嚴格化超越歐拉的數學史第一全才，在他的時代，數論當之無愧的史上第一，幾何史上top5，在代數領域也做了阿貝爾，伽羅華之前的最強的成就，在分析領域，也僅次於魏爾斯特拉斯，柯西，黎曼，阿貝爾等幾人能稍微領先他。換言之，在1840年以前，王子是絕對的統治時代的人物，也是牛頓，歐拉之後又一個統治時代的數學家。在1840年以前，高斯在數論，幾何，代數，分析四大數學領域裡均做出了當時最頂尖的成就，無人能及！無論是阿貝爾伽羅華，還是魏爾斯特拉斯雅可比，無疑都是他的學生輩了，雖然後來者在某些領域超越了高斯，但高斯擁有自己完整的統治時代，毫無疑問！王子的全面性從縱橫時代來講，都當之無愧的史上第一。黎曼龐加萊在代數領域偏弱，格羅滕迪克希爾伯特，龐加萊，阿貝爾，伽羅華幾何拓撲方面偏弱，歐拉在整體嚴密性和抽象化嚴格化上不如王子，柯西在成果的重要性上和高斯差距明顯！換言之，在1840年代群論和橢圓函數論逐漸嶄露頭角大放異彩之前，高斯是史上第一人毫無爭議。 2.早慧的傳奇，領先時代的神話！高斯早慧的傳說早已名垂千古，為他的公眾影響力帶上耀眼的光環，19歲的時候，就超越了法國3L數學家的成就與地位，年紀輕輕就登上數學神壇，成為當時數學家膜拜的至高偶像，聲譽權威威望與地位無人能及！甚至直到今天，還是有許多專業或業餘數學家與愛好者認為高斯是史上第一！ 3.高斯的數學筆記，無疑是他又一個燦爛數學生涯的最好註腳！王子去世後整理出來的筆記，裡面許多結論甚至在當時都是很卓越的成果，而這些成果都是在1814年以前完成的，裡面囊括了數論，分析，幾何，代數各個分支的成果，而且都是當時最領先的東西，研究了高次代數方程，分圓方程，甚至發現了橢圓函數雙周期性，這些成果，直到阿貝爾，伽羅華出現之前都是領先的，而阿貝爾，伽羅華的理論被認可，差不多已經是1840至50年代以後了，換言之，高斯這些未發表的筆記論著，領先了時代數十年，如果高斯不是因為追求完美，而把這些遺著當時也發表了，可以讓數學研究直接在他的基礎上，至少前進四五十年！ 這也是高斯偉大的數學生涯令人驚駭智力表現！ 4.王子為人冷漠，不喜歡也不擅長教學，雖然有許多頂級數學家組成的豪華粉絲團，但在傳道方面卻難稱出色。 但是，高斯有一個名字照耀千古的史上最強數學家弟子黎曼！雖然黎曼受高斯教導影響不大，與高斯並無多少接觸，但從哥廷根的系統來說，黎曼可算是高斯的嫡系門生了。在黎曼博士論文和就職演說兩項數學史上最偉大最燦爛的篇章中，高斯都給予黎曼最大的支持和最高的讚美！ 偉大高斯不足之處: 1.最大的不足：19世紀近現代數學最重要的標誌性的成果，沒有一個是王子獨立開創的！近現代數學的標誌性成果，黎曼幾何、非歐幾何、群論、橢圓函數論、複分析、分析基礎嚴格化、複變函數論等等，沒有一項是由高斯創立的！雖然高斯幾乎在所有領域都作出了傑出的貢獻，但他不是決定性的人物，群論歸功於伽羅華和阿貝爾，橢圓函數論上阿貝爾，雅可比的工作超越了高斯，複分析與分析基礎嚴格化以及複變函數論成就最大的是黎曼，柯西，魏爾斯特拉斯，雖然高斯被認為是非歐幾何創始人之一，但他沒有公開發表論文，而且完成度不如羅巴切夫斯基，鮑耶，雖然高斯引入曲率和測地線成為現代微分幾何的奠基人，但將非歐幾何、微分幾何、橢圓幾何大一統的黎曼幾何是黎曼創立的，即使在高斯最強的數論領域，高斯所有數論的著作，沒有一篇比得上黎曼猜想這篇僅僅八頁紙的論文來的重要！ 而且高斯也只是統治了初等數論，對代數數論，解析數論貢獻不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！幾乎在十九世紀近現代所有最重要數學標誌性成果，竟然沒有一項的發明權是屬於高斯的！很驚異吧？在很多人眼裡史上第一的數學家，竟然沒有一項成果可以躋身19世紀最重要的頂級成果的行列！ 這就尷尬了！換言之，說來會沉重傷害眾多高斯粉脆弱的心靈，那就是，高斯明顯被高估了，尤其是在學術成就上！高斯遠遠沒有達到所謂從九霄雲外把控數學的地步！這麼吹噓高斯的粉絲恐怕除了是**之外，要麼是根本不知道高斯做過什麼工作，要麼是根本不知道別的學者做過一些什麼工作！ 所以，高斯在學術成就的排位上，必定會持續下降！毫無疑問！從廣度與厚度以及全面性來看，高斯無疑可以說是史上第一人，可以說，高斯一個人做到了很多人一起做到的工作，堪稱智力奇蹟，但論及深度，精度，開創性，洞察力，顛覆性，高斯顯然就遜色了。其實，在1854年高斯聽了黎曼關於幾何基礎的就職演講的那一天，王子就已經被黎曼遠遠超越了！那一天開始，王子就已經不是史上最佳了！因為高斯的眾多學術成果中，找不到任何一項可以列入最頂級的行列，這個不足決定了王子實際上是被過譽了！ 2.關於高斯的數學筆記！ 這既是高斯的一大亮點，同時也是最大的黑點之一！無可否認，高斯去世後整理出來的筆記，即使在當時看來都是很出色的工作，如果早發表出來，至少推動數學提早三四十四五十年！但問題是，在高斯的生前並未公開發表這些成果！因為高斯追求完美的性格，所以沒有發表，什麼意思，就是說，高斯筆記的成果，實際上並不完美，還有很多不足！高斯研究了高次方程解問題，但發現群論的功績屬於伽羅華，阿貝爾。高斯發現了橢圓函數雙周期性，但阿貝爾，雅可比在橢圓函數上的工作比高斯要深刻的多！高斯有了非歐幾何的思想，但完成度不如羅巴切夫斯基和鮑耶！ 高斯苦思一生沒有解決的幾何基礎問題，在他生前已經被黎曼解決！最小二乘法和二次互反率勒讓德也發現了，正態分布發明權高斯必須與棣莫弗，拉普拉斯分享，等等等等…… 什麼意思呢？意思就是說，實際上，就是因為高斯沒有當時第一時間發表這些成果，而實際上已經被同時代的人做出或超越了！換句話說，有沒有高斯這些成果照樣都會出現，高斯對這些數學成果的誕生影響不大。 高斯筆記在高斯去世之後正式出版的時候，這些成果實際上已經過時了，已經不算是前沿的東西了！一些王子**粉一臉崇拜喋喋不休說什麼高斯遺著筆記多麼偉大，可笑，實際上，說這些筆記出版的時候，已經一文不值，這有點傷人，但實際情況差不多就是這樣。尤其對專業數學家而言，高斯的遺著筆記當然還是有很多啟發，但基本已經不是前沿的東西了，幾何的發展沿著黎曼的思想，代數群論的發展沿著阿貝爾，伽羅華的思想，分析與冪級數的發展隨著魏爾斯特拉斯，柯西的思想發展，數論沿著狄利克雷，黎曼，戴德金的思想為主發展，數學界最重要的發展，跟高斯筆記甚至高斯本人其實關聯已經不是很緊密了。 高斯筆記體現的是高斯全才與早慧，體現了高斯驚人的天賦所在，但即使高斯正式發表的完成度極高的論文都沒有堪稱最頂級的開創性成果，何況筆記這些完成度不夠有缺陷的成果呢？ 吹捧高斯沒問題，高斯也曾經是我的偶像，我也是高斯的腦殘粉，但切忌胡吹海捧，高斯不是萬能的， 正是因為這些筆記沒有第一時間發表，所以導致了每個分支都已經被同時代或學生輩的數學家超越，基本渣渣都不剩多少了，完全沒有發揮和體現出應有的影響力，這個也是數學史上的一大遺憾！ 如果這些筆記在寫出來當時就發表，即使有缺陷，也依然奇怪最前沿的，並且足以引導後人更進一步，大大提升數學史的進程，毫無疑問！問題是高斯筆記內容當它發表時，已經被超越了！ 高斯遺著筆記體現了他驚人的全才，早慧，個人能力，天分，相當於他一個人就做了當時大部分頂尖數學家的成就，何等驚人的智力！但是就學術意義，實際上高斯遺著筆記並沒有太大的價值，尤其對於十九二十世紀的近現代數學而言，可以忽略不計！這也大大減弱了高斯應得的實際形象力和學術地位！ 3.高斯以早慧聞名於世，少年天才，流傳百代！但縱觀高斯生涯，早年卓絕，但到了晚年卻顯得沒那麼靈光了。做為當時時代的領先因素，早慧的傳奇，在數學各個分支均作出卓越貢獻，全才程度無與倫比，從整體學術成就來看，高斯是數學史上一座里程碑，古典數學的集大成者，統治18世紀後半期到19世紀前半期數學的學者，高斯肯定是史上最強數學家之一！但隨著數學的進展，尤其是19世紀對後世影響最大的啟發現當代數學的最偉大的一系列標誌性成果，幾乎沒有一項是由高斯創立完成的，幾何，分析，代數，甚至數論某些領域，所有分支在高斯生前就都已經被其他學者彎道小超車了，這個黑點高斯無論如何沒法越過，這點和牛頓完全統治17世紀，歐拉完全統治18世紀，有些差距，論時代統治力，高斯不如牛頓歐拉，而且在洞察力，創造力，顛覆性方面，高斯比起同時代的黎曼，阿貝爾，伽羅華以及後世的龐加萊要遜色不少，比起後世的格羅滕迪克，希爾伯特沒什麼優勢，即使是在高斯還活著的生前，他就已經被黎曼全面超越了。所以註定了高斯絕不可能是數學史上第一人！個人把高斯排在第二的位置，從各種學術因素綜合考慮，目前來說還是勉強靠得住的。因為比起歐拉，實際上，橫向時代的視角來看，王子與歐拉綜合學術成就半斤八兩，而且相比高斯對19世紀的時代統治力，歐拉在18世紀的統治力顯然更有說服力。不過高斯在抽象性與嚴密性上超越不少（當然有時代因素），就學術論學術，王子與歐拉都是卓越的全才型天才，均對各個領域分支作出同等級的貢獻，但高斯無論深度或完成度都要略微勝過歐拉半籌，歐拉是分析的時代化身，高斯則對數論和微分幾何同時做到當時最佳，歐拉的成果相對來說雖多但較零散，而高斯的成果較系統化，（這當然也有時代發展的因素），所以高斯比起歐拉，還是領先一個身位。 比起希爾伯特，格羅滕迪克，龐加萊三位，高斯的學術成就與這三位二十世紀的大師相比基本也是半斤八兩，學術完成度與深度，貢獻和影響力都旗鼓相當，甚至在未來這三人的地位都有可能超過高斯，而且這三人都是對現當代數學的影響力是直接的和卓越的，學術難度都超越高斯不少。 但是高斯最大的優勢是時代優勢，比起這兩位位大師，高斯作出同級別同重量級的學術成就比起這兩位大師早了一百年！這三位大師的學術影響力還需要更多的時間的考驗，也許再過一兩百年，這幾位大師的地位都可能超越高斯，但現在排在高斯之前，還不合適。 而比起伽羅華，阿貝爾，雖然伽羅華和阿貝爾引發了群論以及結構化抽象代數的思潮，進而成為當代數學最重要的數學範式與浪潮，並深刻影響了物理學。可以說，高斯沒有一項成就比得上。 在思想上，洞察力與創造力上，高斯比起這兩個年輕人差距不小，尤其群論和抽象結構化數學已經統治了當代數學，這個影響力無與倫比，當代數學早已遠遠不是高斯的時代的東西了，對後世影響力高斯拍馬難及。但是，高斯在數學成就的全面度，完成度要遠遠超越伽羅華和阿貝爾，高斯在各大分支均做出時代頂尖的成就，而阿貝爾，伽羅華更像代數偏才，阿貝爾分析還可以，對幾何數論貢獻可以忽略，伽羅華本人更是對幾何分析數論幾乎沒有貢獻！整體綜合成就上，高斯已經超越阿貝爾。伽羅華很多了！其次，即使說到阿貝爾，伽羅華代表性的群論和結構化抽象化數學思想，這當然極其燦爛光輝，高斯沒有一項成就比得上，但是問題是，伽羅華阿貝爾對群論和抽象代數的思想只是起了個源頭，做了萌芽狀態的突破，但因為短命離世，並未作出更多實質性的突破，也就是說雖然伽羅華阿貝爾兩人體現了深邃的洞察力創造力，但他們更多的是起了一個創始人萌芽思想的作用，群論和抽象代數的主要功績更多的是由後人如龐加萊，希爾伯特，格羅滕迪克以及戴德金等學者完成，也就是說，在成果的完成度上，伽羅華阿貝爾的成果還是較原始和粗糙，並未實質性統治或改變數學。在這點上，伽羅華和阿貝爾比起黎曼差距很大。本來如果伽羅華阿貝爾再活二三十年，保持這樣的創造力，完全可以與龐加萊甚至黎曼一較高下了，數學成就史上前三甚至前四里就沒有高斯什麼事了。 而比起伽羅華阿貝爾，高斯的學術完成度要超越他們很多，尤其是數論和微分幾何的成就，基本終結了古典數學時代，定型了領域和研究，何況高斯對各個數學分支都具有廣泛的傑出成就，在1840甚至1850年以前是獨領風騷的，這點上阿貝爾，伽羅華無法與高斯相提並論。所以高斯總體數學成就比阿貝爾伽羅華要高出大半個檔次到一個檔次，沒有爭議。綜合以上，目前高斯排在史上第二的位置，暫時還是合適的。 ... NO1. 黎曼 等級: 超神 類型：超越時代 代表性成果： 1.黎曼幾何(人類數學史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧與認知突破，對整個人類意義層面上來說，黎曼幾何產生的時空觀念，堪與牛頓力學，進化論，相對論，量子力學等相媲美，其重要意義遠超過微積分和群論，沒有爭議。) 2.黎曼曲面，流形(現當代數學，物理的最重要的數學構造和基礎工具之一，不解釋) 3.黎曼洛赫定理(當代代數幾何乃至物理學的數學中心定理中心支柱之一，不解釋) 4.黎曼映射定理(聽說過黎曼曲面的高維單值化定理嗎？不解釋) 5.黎曼猜想(最重要的數學猜想，史上最驚艷的個人秀，單核碾壓全時代數論學者包括高斯無壓力，一篇僅僅八頁的短文，160年前，迄今未被超越) 簡評: 從純數學學術成就角度來看，黎曼占據榜首是不存在任何爭議的，這麼說可能會讓很多高斯粉,歐拉粉,牛頓粉不開心，但從數學成就的角度來看，黎曼無論在重要性，影響力，顛覆性個突破性上，都遠遠超過高斯,歐拉,牛頓，換言之，黎曼在數學上的成就，大約等於高斯加歐拉再加上牛頓和龐加萊的總和，他們的差距大概這麼遠。 黎曼以下的數學家，跟他差距都比較大，基本不在一個等級上，除了龐加萊在拓撲學難度上可以稍微接近之外。 黎曼是世界數學界最具影響力數學家理由: 1.史上唯一具有全面統治力的數學家，沒有之一！以黎曼命名的數學成果共有81個，僅次於高斯(110個)，歐拉(102個)，數學成果多少不是黎曼的主要貢獻，黎曼對如何證明發現幾十幾百條各個數學分支的定理興趣似乎不大，黎曼只搞那些將幾何，數論，分析等各類分支大一統的數學工具，重新改變數學的觀念和定義！其他數學家停留在發現和研究數學，而黎曼直接是創造數學。 這就是黎曼比高斯，龐加萊，歐拉，牛頓強的原因！黎曼所做的都是數學史上最重要的工作，而這些工作只有黎曼一個人在做。 很多人說黎曼的主要成就是開創奠基了複變函數，非歐幾何，解析數論，代數幾何，拓撲學等等學科，這當然很偉大，也很形式化，但這個評價並不能準確評估黎曼的地位，如果黎曼只是開創了多少新學科，那麼他的數學成就和地位不會比歐拉，高斯，龐加萊，希爾伯特，牛頓更高。 開創許多數學分支並不是黎曼的核心成就，黎曼的輝煌是來自他在開創這些分支時若發明的方法和數學構造，而這些數學構造卻是聯接幾何，分析，拓撲，數論，乃至物理的工具，比如黎曼曲面，流形，黎曼羅赫定理，黎曼映射定理，無不是直接聯接數學與物理的最重要的數學工具，很難想像當代一流的數學家或理論物理學家能夠不用到這些基礎而作出一流的工作。 黎曼的創造性的工作，使他成為史上迄今唯一統治了數論，幾何，分析各大數學分支並為現代物理提供最強力數學構造的超神級數學家。唯一能夠與黎曼接近的是龐加萊。牛頓聯接了分析與物理，但牛頓在數論，代數，幾何上的成就太次，根本達不到水準之上； 高斯和歐拉，柯西等人成果覆蓋數論代數幾何分析，號稱全才，但和黎曼直接聯結分支的工作比起來，就顯得完全不是一個檔次的工作了。 黎曼一篇八頁的論文，就能幹掉高斯除算數探索和曲面幾何之外所有成果的總和了。阿貝爾，伽羅華的群論抽代思想，既可以對數學全局具有統治力，也完美聯結物理，本可以與黎曼抗衡，但他們的完成度太低，短命留下了數學史上最大遺憾。 黎曼唯一的缺憾是沒有對代數群論作出成果，影響了他真正大一統數學領域，但也留下了大手筆，請不要忘記，黎曼-羅赫定理是現代抽象結構代數幾何的中心！ 2.史上最具創造力，洞察力與遠見的數學家，沒有之一。 黎曼從來不以證明定理、爆算能力著稱，甚至不在乎證明的嚴格性。黎曼只搞自由自在的創造！ 黎曼面，流形，度量，曲率張量，虧格，參模數，模空間，力即幾何，空間彎曲，等等在當時看來稀奇古怪的數學新概念新觀念，後來都被證明黎曼提出的新觀念，新概念。這些才是數學物理的正確打開方式，才是數學物理走進現代的基石，如果沒有黎曼憑空搞出來的這些奇怪的東西，現代數學和現代理論物理估計就完蛋了，相對論和量子場論恐怕就是民科了，現在最熱門的物理理論分支弦理論絕對不復存在了。 而這些稀奇古怪的東西，在黎曼屈指可數的十幾篇論文里俯拾皆是，這類新概念新觀念，隨便你發明了其中一個，都會成為中國第一乃至世界前幾位的數學家！即使是他次一級的成就，比如柯西黎曼條件，黎曼積分，黎曼許瓦茲定理，黎曼澤塔函數等等等等之類，拿出來放在今天，也足以讓任何一個數學家成為相關領域的頂尖學者！ 高斯是古典數學的集大成者，並啟發了現代數學，但帶領數學走進現代化的，是黎曼，伽羅華，阿貝爾，其中黎曼，才是現代數學和物理大爆發的原點！ 3.現代數學開山祖師，現代數學之王，對現代數學影響最深的學者，沒有之一！ 4.史上思想最深邃，最具深度的數學家，沒有之一！一輩子只有18篇論文，但其中蘊含的思想，至今在引導數學家走向新的境界。 黎曼的數學思想，兼具了統治力，創造性，前沿性和引導力，既找到了金礦，同時為後來者提供了挖掘金礦的工具，在完成度和啟發性上，史上第一，沒有爭議！ 5.黎曼重寫了數學的語言，觀念和定義。黎曼之後，人們突然發現，**，原來數學還可以這麼搞，原來這麼搞搞出來的東西的價值才大，沿著黎曼十幾篇文章搞出來的東西，才是現代數學與理論物理的正確表達。這點太重要了，觀念的突破是決定性的，能夠與黎曼媲美的只有龐加萊，伽羅華，和可憐的阿貝爾！ 6.對當代物理學影響深遠，華人數學家丘成桐，陳省身，物理學家楊振寧都是黎曼的腦殘粉。丘成桐說中國學生中只要有人能完成黎曼一篇論文中的部分，這個人就能成為中國最偉大的數學家，雖然有點誇張，但也說明了黎曼的重大影響力。 楊-米爾斯理論實質就是黎曼-羅赫定理至今的終極應用，每一次對這個黎曼-羅赫定理的推廣成功都是數學和物理的巨大進步，英國當代最偉大數學家阿蒂亞(Atiyah)認為，楊-米爾斯理論實際上是數學科學大統一的核心。它是黎曼-羅赫-格羅騰迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推廣從而與代數幾何相關，同時又將分析直接同拓撲及微分幾何不變量聯繫起來。 數學金字塔Top3，深度黎曼，廣度高斯，難度龐加萊，黎曼站在高斯肩膀上並全面超越，但黎曼之後的數學巨匠龐加萊，格羅滕迪克都無法徹底走出黎曼的陰影，奠定上面兩人核心地位的拓撲和代數幾何雛形都是黎曼開創的，這僅僅黎曼部分成就，而黎曼對發現數學新理論，新分支，解決難題沒有興趣，僅僅是提供新的數學概念，觀念，想法，卻奠定了黎曼祖師爺地位。 黎曼的黑點： 1.觀念與方法過於超前，不為當時所理解。雖然黎曼在生前已經被公認為當時代最強的數學家之一，但這只是他那些別的同行看得懂的工作而言，黎曼更重要的思想，在論文中創造出稀奇古怪的新概念，很懷疑當時有幾個數學家能夠理解，而黎曼開闢的思想方法工具領域，在長達近乎五十年，也就是半個世紀裡，都是相對冷門的研究領域，比如黎曼幾何，更多的是當作一種可以自洽的幾何學，有幾個義大利學者在玩，沒人覺得這玩意有用，更不是數學界的主流，又比如黎曼猜想，也一樣在半個世紀裡幾乎沒幾個人問津，相比較而言，魏爾斯特拉斯，雅可比，戴德金，才是數學界的主流，以及阿貝爾，伽羅華的學說都開始逐漸成為主流。 而且黎曼對於證明的某些不嚴謹，也讓後世數學家們紛紛避開黎曼面這個神級利器。所幸義大利那幾個學者默默的堅持搞這些全無用處的學問，以及後世克萊因，希爾伯特，龐加萊的力挺，黎曼終於回到神壇，在重新發現黎曼的過程中，相關學者當然也收穫的超級豐厚的回報，尤其是相對論的誕生，直接讓黎曼成為數學史上第一人。 2.在黎曼還活著的時候，他已經是公認的當時最強數學家之一，有之一，但他的成就與地位，公認的不如前一輩的有高斯柯西，同一輩的魏爾斯特拉斯，雅可比，甚至阿貝爾，伽羅華，聲望都要高於黎曼，即使和狄利克雷，戴德金，愛森斯坦比，也就半斤八兩。這無疑大大低估了黎曼的實際成就。 當時看不清楚，而在160年之後回頭看，黎曼才是十九世紀數學界燦爛星空中位居正中央的最耀眼的那一顆，光芒足以照亮整片星空！ — THE END —

文章來源取自於：

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